C’è una cosa molto particolare, l’orbita non è più su un piano, ma è una specie di grafico in 3D. Prova a guardare questo video dove le dimensioni non sono in scala (e ignora l’asteroide vagante verde 
):
Questo è un video che mostra gli asteroidi Greci e Troiani di Giove, asteroidi che naturalmente orbitano attorno a L4 e L5. Focalizzandosi solo su un sistema (in termini tecnici, mettendosi nel sistema non inerziale orbitante con Giove) vedi che gli asteroidi ruotano semplicemente attorno al loro punto lagrangiano, che sia L4 o L5. Se invece preferisci una visione più ampia (ti metti nel sistema di riferimento inerziale solidale con Sole), vedi che in realtà ogni singolo asteroide ruota attorno al Sole ma spostandosi ogni tanto in su o in giù rispetto al piano orbitale del pianeta madre, più volte in ogni orbita.
Questi video che provano a spiegare le orbite lagrangiane sono tutti rigorosamente non in scala. Ricorda che il punto lagrangiano è praticamente in prossimità della Terra (1% di distanza dalla Terra e 99% di distanza dal Sole), quindi se provi a guardare un grafico in scala dall’alto, vedi solamente un’orbita circolare attorno al Sole molto regolare.
Avevo postato anche un video sul thread del gateway lunare, dove fa vedere un’orbita estrema attorno a L2 Terra-Luna da più punti di vista contemporaneamente.
Nel video di questo thread si vede un frame che fa vedere l’orbita completa, una specie di cerchio deformato (e comunque non è mai spirale).
Il problema dei 3 corpi ha sempre una e un’unica soluzione analitica una volta che sono fissate le condizioni iniziali, forse intendevi che non è periodica e non è sempre esprimibile come composizione di funzioni elementari.