Buongiorno a tutti, non sarò breve.
Voglio aprire questa discussione per chiarire cos’è veramente il primo punto lagrangiano, visto che mi è capitato di leggere definizioni non formalmente corrette anche da esperti e fonti autorevoli. In particolare, da quando ho letto questa definizione di ESA non ho più un capello in testa: "Lagrangian points are where all the gravitational forces acting between two objects cancel each other out and therefore can be used by spacecraft to ‘hover’ ".
I 5 punti lagrangiani hanno un significato importante per l’astronautica e hanno utilità diverse tra loro. In questa discussione parlo un po’ della definizione generica, ma mi voglio concentrare sul primo punto lagrangiano, L1.
Prima di tutto, Lagrange era un matematico. Un matematico ai tempi in cui nasceva il calculus, e a lui piaceva molto il calcolo differenziale, il che vuol dire che gli piaceva trovare i punti di minimo e i punti di equilibrio. I punti di equilibrio in matematica hanno un significato un po’ più astratto di quello dell’uso quotidiano, sinteticamente possiamo semplificare dicendo che sono punti le cui proprietà si possono sfruttare per mettere un corpo in una certa situazione di equilibrio, statico o dinamico che sia. La definizione matematica prescinde però dal fatto che effettivamente un corpo stia sfruttando quella situazione. Matematicamente si usa il potenziale per definire questa situazione, ed è quello che Lagrange osservava, le posizioni di equilibrio data dalla funzione del potenziale gravitazionale generato dalla Terra e dal Sole, senza la necessità di terzi corpi in giro per lo spazio. Inoltre, questo studio da un punto di vista potenziale permette un’analisi statica del problema. Incredibilmente infatti si può discutere il problema da un punto di vista matematico senza mai parlare di orbite.
Come si traduce in termini astronautici questo equilibrio potenziale? Ci sono tanti modi per dirlo, ma è opportuno inserire il concetto di orbita per farne capire l’utilità. Ad esempio un modo potrebbe essere dire che esiste una velocità iniziale (in termini di vettore velocità) per cui un oggetto in un punto lagrangiano con quella determinata velocità orbiterà in modo da mantenere una posizione stabile rispetto ai due corpi principale. Cioè vuol dire che dalla Terra vedremo l’oggetto sempre alla stessa distanza dalla Terra e alla stessa distanza angolare dal Sole. Non sarà affatto fermo! Non è questo che vuol dire posizione di equilibrio, è un equilibrio potenziale.
Vuol dire che orbiterà con lo stesso periodo di come orbita la Terra intorno al Sole, cioè un anno.
Prendiamo ora in particolare il primo punto lagrangiano, L1. È un punto molto più vicino alla Terra che al Sole: la distanza tra L1 e il Sole è 100 volte la distanza tra L1 e la Terra. Alcuni dicono che il punto L1 è quello dove le forze gravitazionali tra Sole e Terra si annullano, falso! Mi sorprende molto che l’ESA usi questa definizione in un articolo divulgativo. Se non ci fosse la Terra, un corpo alla distanza L1-Sole orbiterebbe con un periodo leggermente inferiore a quello della Terra, in quanto si trova in un’orbita più interna (ad esempio Venere e Mercurio hanno anni più corti). Aggiungendo la Terra, la forza gravitazionale del pianeta sottrae alla forza del Sole tanto quanto basta per aumentare il periodo fino a un anno. Si capisce chiaramente che la forza gravitazionale del Sole in L1 è decisamente maggiore di quella della Terra, vi risparmio i conti. In L1, un corpo con la forza gravitazionale del Sole orbita con periodo di meno di un anno; con la forza gravitazionale di Sole meno Terra, orbita con periodo esattamente di un anno. Un’altra cosa che spesso viene omessa, è che il corpo in L1 per avere periodo di un anno, deve avere una velocità iniziale fissata, non basta esserci e basta. Quando viene mandato un satellite in L1, deve effettuare una manovra di inserimento in orbita L1 per correggere la velocità che è diversa da quella di arrivo.
Ci sono altri modi per definire L1 ovviamente. Alcuni li considero decisamente fuorvianti. Io, ormai l’avete capito, preferisco sempre usare sistemi di riferimento inerziali, senza complicarsi la vita con le forze apparenti, che in sistemi complessi sono sempre molto difficili da analizzare.
Una definizione che leggo spesso è che L1 è il punto dove le forze gravitazionali e la forza centrifuga si annullano. Beh, sebbene questa frase sia accettata abbastanza universalmente in ambito astronautico, un matematico (ah, in passato io lo ero, scusatemi 
) drizzerebbe le orecchie, argomentando pignolosamente che c’è qualcosa di non ben definito. Qual è il sistema di riferimento? In tutti i punti dello spazio infatti forza centrifuga e forza gravitazionale si annullano, basta pensare a Giove che orbita tranquillo nella sua orbita e se ne frega dell’influenza gravitazionale terrestre. È un punto lagrangiano anche quello? 
Dopotutto, la forza centrifuga è proprio questo per definizione. Allora che hanno di speciale i punti lagrangiani se è vero in tutti i punti dello spazio?
La definizione, infatti, sebbene formalmente corretta secondo me è altamente fuorviante. In questo caso infatti si intende che nel sistema di riferimento non inerziale fissato con la Terra, i punti lagrangiani sono quelli dove forze centrifughe e gravitazionali si annullano. Capito la differenza sottile? Non si considera la forza centrifuga nel sistema di riferimento del corpo orbitante, come si fa usualmente quando si parla di forza centrifuga, ma di quello centrato col moto della Terra. Scommetto che alla maggior parte della gente non è venuto in mente che in questo sistema va considerata anche la forza di Coriolis per analizzare il movimento del corpo. Quindi la definizione è vera ma nasconde un sacco di dettagli che in un primo momento vengono ignorati. Un po’ come quando vi ho detto che non ho più capelli da quando ho letto la definizione dell’ESA, è formalmente vero, ma è anche vero che da più di dieci anni non ne ho.
Non c’è dubbio, è veramente difficile definire i punti lagrangiani in modo semplice. La NASA usa una definizione molto più generica, senza scendere in particolari: “Lagrange Points are positions in space where the gravitational forces of a two body system like the Sun and the Earth produce enhanced regions of attraction and repulsion. These can be used by spacecraft as “parking spots” in space to remain in a fixed position with minimal fuel consumtion.” (con un typo all’ultima parola, visto che sono in regime di pignoleria)
Altre definizioni generiche di L1 possono essere, ad esempio, un punto dello spazio dove un satellite si mantiene sempre tra Terra e Sole, un punto interno all’orbita terrestre con orbita circolare dal periodo di un anno. La mia preferita rimane quella della posizione relativa dei tre corpi, formalmente corretta, semplice e che non richiede l’utilizzo di un sistema di riferimento non inerziale, anche se nasconde tante implicazioni.
Un’altra cosa da ricordare, è che L1 è un punto di equilibrio potenziale instabile, matematicamente visto come una sella, e quindi per un satellite operante in quel punto è necessario operare manovre di correzione dell’orbita molto frequenti (ogni 1-2 mesi) e molto piccole.
L1 ha un’utilità da un punto di vista astronautico. Mantiene sempre il Sole da una parte e la Terra dalla parte opposta. Quindi da qui si vede sempre solo la faccia illuminata della Terra, passa il vento solare prima che arrivi a Terra e si possono analizzare le particelle del vento solare prima che vengano influenzate dal campo magnetico terrestre pur rimanendo abbastanza vicini alla Terra. I satelliti in L1 hanno infatti questi scopi, DSCOVR guarda la Terra, ACE e WIND il vento solare, Soho il Sole. Non sono esattamente in L1, ma orbitano attorno a L1. Solitamente, quando un satellite è a fine vita si toglie da L1 e lo si immette in orbita solare per evitare che danneggi operazioni in futuro. Di L1 si potrebbe parlare veramente tanto.
) !!
, e a dire il vero trovo qualche difficoltà anche a dare per scontato che siano chiari a tutti concetti come forze, inerzia, sistemi di riferimento, distanza angolare, equilibrio potenziale…
):
