Forse non sono stato chiaro, quando sono allineati bisogna vedere quale prevale, ma quando si perde l’allineamento, le due forze non sono più semplici antagoniste, ma più collaborative.
Sì insomma, la somma vettoriale delle due forze, in L1 ha come modulo la differenza delle forze, nel punto B è meno intuitivo ma ha un modulo sicuramente maggiore che in L1, perché il valore minimo si ottiene quando le due forze da sommare fanno un angolo di 180°. Occorrerebbe un disegnino, ma con la grafica non sono molto pratico, mi portano via più tempo delle spiegazioni alla fine.
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Volevo farvi notare un altro paio di cose relativamente alle immagini delle orbite di Soho, ACE e Wind, ma prima devo accennare molto sommariamente cos’è un moto armonico, un moto armonico composto e una curva di Lissajous, ma state tranquilli, cercherò di mantenere la trigonometria ai minimi livelli.
Un moto armonico non è niente di complicato, è un fenomeno molto comune in natura, in fisica 1 si studia ponendo classicamente come esempio il moto di un peso attaccato a una molla e tirato da un estremo, che oscilla attorno a punto di equilibrio. Si usano funzioni trigonometriche in modo molto elementare per descrivere questo modo ( x = sin (t), veramente semplice, posizione in funzione del tempo) tanto che il problema si affronta molto spesso anche alle scuole superiori. Se un corpo si muove in un piano in modo che sia la componente orizzontale che quella verticale si muovono di moto armonico, allora parliamo di moto armonico composto.
In questo caso, a seconda delle condizioni iniziali, il moto che ne deriva può essere semplicissimo, semplice o complicato (e sarà quest’ultimo il caso che ci interessa 
).
Mi aiuterò con un tool, per ora scrivo i link con i risultati in cache al tool, se in futuro scompariranno, metterò le immagini direttamente qui. Il tool si chiama proprio curva di Lissajous; se ci avete fatto caso questo nome appariva nel post 21 di questo thread, nella slide “Side View” in corrispondenza dell’orbita di ACE.
Ok, iniziamo. Se i due moti armonici sono uguali, non vediamo altro che un moto armonico “obliquo”. Questo è il caso semplicissimo, le coordinate (x,y) del movimento nel piano sono semplicemente (sin (t), sin(t) ), la figura del tool la vedete con le coordinate già impostate da me a questo link:
Se dal tool volete vedere come si muove il punto in funzione del tempo, basta cliccare sul campo 9 vuoto, scrivere t=0 e spingere il tasto play in corrispondenza di questo campo.
Ok, bene, fate una pausa e cercate di prendere familiarità con questo caso semplicissimo, se lo capite in pieno, tutto il resto sarà più facile.
Adesso passiamo dal caso semplicissimo al caso semplice, differenziamo leggermente i due moti. In termini tecnici li sfasiamo. Come se il moto lungo uno degli assi partisse non dall’origine a t=0 ma già in un estremo dello spazio dove si muove. Per far questo basta modificare il parametro f, fase appunto. Ve lo modifico io di un quarto di periodo a questo link (f = - pi / 2). Vi imposto direttamente anche t=0 e spingete play in corrispondenza di t (riga 9):
Bene, è venuto un bel cerchio. Se togliete del tutto il parametro t, vedete il cerchio intero:
Questo è un caso particolare che si ottiene impostando 1 in A e B, se queste due grandezze sono diverse viene semplicemente un ellisse, come in questo caso:
Ok, è arrivato il momento di passare al caso complicato. Cambio di pochissimo il parametro a, da 1 a 1,01, cioè semplicemente impostiamo i periodi dei due moti su due valori diversi. Succede veramente un casino, guardate qui:
Se metto 1,05 appare una forma ancora più strana:
Queste curve, tutte, il segmento, il cerchio, l’ellisse e quelle strane, si chiamano curve di Lissajous, e sono il risultato della composizione di due moti periodici indipendenti.
Cosa c’entra con L1? Beh, molto. Viste dalla Terra, le tre componenti del moto di un’orbita (molto) vicina al punto L1 si muovo ognuna di moto armonico, in prima approssimazione. Un moto armonico per la componente x, uno per y e uno per z (visione dalla Terra). Un po’ questo fatto che la Terra tira da una parte o dall’altra ve lo avevo accennato nel post 24. I moti lungo x e y non sono indipendenti, per “orbitare attorno a L1”, alla fine i periodi di oscillazione devo essere esattamente uguali, sennò la sonda prima o poi si perde. L’oscillazione lungo l’asse z può avere un periodo diverso dagli altri due.
Ora notate bene la differenza tra di Ace con Soho (lasciamo stare Wind per il momento). Ace si muove veramente a caso. Nelle prima figura sembra muoversi diagonalmente ma sempre su una traiettoria diversa, nella seconda fa un moto a cui siamo più abituati ma a forma di rene, nella terza fa proprio uno scarabocchio, simile a quello ottenuto sopra con a=1,05. Questo è dovuto al fatto che i periodi dei moti armonici nell’asse x e y sono gli stessi, che è proprio il moto che vediamo in figura 2, mentre nell’asse z si muove sì di moto periodico, ma con un valore che non c’entra niente con gli altri due. Questa orbita si chiama orbita di Lissajous.
Se ne sente poco parlare di questa orbita, mentre è (poco) più famosa l’orbita Halo. L’orbita Halo è una speciale orbita di Lissajous che ha anche il periodo del moto armonico lungo l’asse z sincronizzato con quello di x e y. Inoltre la fase è la stessa con quello di uno dei due assi, e infatti in una figura l’orbita di Soho appare come una linea, mentre è sfasata di un quarto di periodo con l’altro asse, quindi ci appare ellittica. Ora dovrebbe esservi chiaro perché le orbite appaiono in questo modo nella figura della NASA.
Non so dirvi se Wind si muova in orbita Halo o meno. Nella figura è indicato Lissajous. Lo sfasamento dei periodi potrebbe essere davvero minimo. Nella figura manca Dscovr, che si muove in un’orbita molto molto simile a quella di ACE.
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Le curve di Lissajous - leggi /ˈlɪsəʒuː/ si ottengono anche con un oscilloscopio ponendo un segnale sinusoidale in X e uno in Y. In questo modo si possono confrontare o regolare con precisione due frequenze uguali o che siano una multiplo dell’altra.
Sì, lo so, non sono in molti ad avere un oscilloscopio per provare questa cosa e chi ce l’ha sicuramente conosce già questo trucchetto. Però potete sempre costruirvi un armonografo.
Oppure andare su un sito che le simula online:
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Volevo chiederti un aiuto alla visualizzazione mentale di questi punti lagrangiani. Usando come riferimento il materasso solito che serve/aiuta a rappresentare la gravità, forse meglio dire spazio tempo, i lagrangiani possono essere visualizzati come degli affossamenti nel “materrasso” ma vuoti, esistenti per via delle forze/equilibri gravitazionali, roteanti all’unisono(forse quasi ?) con i corpi più grandi?? Grazie per l’attenzione e la pazienza
Questa è carina 
Proverei ad immaginare un affossamento più piccolo creato sulla parete di un affossamento più grande (e quindi inclinato) …
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No, sono dei punti di “sella”.
https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Lagrangian_points_equipotential.jpg#/media/File:Lagrangian_points_equipotential.jpg
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Ahh bella sta rappresentazione! Si avvicina a quello che mi immaginavo… Comunque è da intendere vuota se non degli oggetti che artificialmente o casualmente si trovano ad essere portati in quella posizione, è mi sembra di aver capito trascinati…
Bella rappresentazione grafica
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Qualche questione pratica. Quale orbita è migliore? Halo o Lissajous non-Halo?
Semplicemente la domanda è mal posta. Ogni orbita ha le sua caratteristiche peculiari, che meglio o peggio si sposano con i requisiti scientifici e tecnici a cui le sonde sono vincolate. In L1 ci sono 4 sonde attive al momento.
DSCOVR, ad esempio, ha come obiettivo di osservare la Terra di fronte, per vedere la faccia illuminata, e di misurare il vento solare che sta per arrivare a Terra. Per questo motivo c’era l’esigenza di tenerlo il più possibile vicino a L1 ma permettendo le comunicazioni. Se si fosse avvicinato troppo al punto L1, dalla Terra le comunicazioni sarebbero state quasi impossibili, visto che aveva praticamente il Sole alle spalle, forte sorgent di qualunque radiazione perturbativa per le comunicazioni.
Come potete vedere a pagina 4 di questo documento:
nel 2015 è stata inserita in un’orbita di Lissajous abbastanza vicino a L1 ma tale da tenersi almeno a 4 gradi di distanza angolare dal Sole. I problemi sarebbero arrivati solo nel 2020, quando sarebbe passata a soli 2° dal Sole, e in effetti a ottobre abbiamo avuto poche immagini.
ACE ha praticamente la stessa orbita di DSCOVR, anche ACE vuole misurare il vento solare prima che arrivi a Terra.
Per Soho il discorso invece è molto diverso. La sonda non è interessata a quello che avviene nella magentosfera terrestre, osserva esclusivamente il Sole, e può tenersi bene alla larga da L1, pur orbitandoci armonicamente attorno. Soho è stata piazzata in orbita Halo, che per sua natura è abbastanza ampia, oscilla da est a ovest in uno spazio di circa un milione di chilometri e ha il perdiodo di oscillazione nell’asse z sincronizzato con x e y, per cui non passerà mai esattamente per L1, anzi se ne terrà ben alla larga per evitare problemi di comunicazione, tanto non c’è nessun interesse a piazzarsi esattamente di fronte, è stato scelto L1 perché è lontano dalla Terra e quindi il nostro pianeta non influenza le misure elettromagnetiche dei suoi strumenti.
Wind allo stesso modo segue una traiettoria molto larga. Nel grafico c’è scritto che è Lissajous, simile all’Halo di Soho, ma sinceramente non vi so dire i motivi per cui non si sia scelto Halo direttamente.
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Le orbite Halo hanno delle forti restrizioni sulla forma che possono avere, vincolate dal fatto di dover avere lo stesso periodo di oscillazione nella proiezione sui tre assi. In particolare l’orbita (quasi) complanare al piano dell’orbita dei due corpi principali, è unica. Man mano che aumenta l’ampiezza dell’oscillazione lungo l’asse z, la proiezione sul piano xy si deforma leggermente, spostandosi sempre di più verso il secondo corpo.
Rubo un’immagine a questo articolo (pag 17) per farvelo vedere visivamente:
Qui è rappresentata una famiglia di orbite Halo attorno al punto L1 del sistema Terra-Luna. Il pallino nero è L1, non la Luna, Terra e Luna sono fuori scala in questo grafico. Se guardate la proiezione a destra, la linea orizzontale corrisponde all’orbita Halo con oscillazione attorno a z quasi nulla, cioè l’orbita complanare al piano dell’orbita della Luna. Poi pian piano la proiezione si alza, diventa un tratto curvo e, se riuscite a notarlo, non passa più dal punto L1, ma è spostata leggermeente in alto e verso la Luna.
Questa in particolare è la famiglia di orbite Halo chiamate L1 nord. C’è una famiglia speculare per quelle sud, nella stessa pagina del pdf (che disgraziatamente, l’autore ha deciso di modificare assi x e y solo per confondervi).
La famiglia si può estendere ancora, e rubo un paio di immagini a quest’altro articolo (pagina 5) per farvelo vedere meglio:
Ho preso in prestito l’immagine di L2 solo perché il concetto è più visibile. Questa è una famiglia Halo sud, sempre del sistema Terra-Luna, ma una famiglia più larga della precedente. Quelle rosse e gialle vicino a L2 sono più o meno simili a quella dell’immagine precedente, ma allontanandosi dal punto lagrangiano, le orbite si deformano e si spostano sensibilmente verso la Luna.
In particolare, l’ultima orbita, quella in bianco, è sempre un’orbita attorno al punto L2, ma diciamolo, di fatto orbita intorno alla Luna. Per i frequentatori più attenti del forum, è l’orbita dove andrà tra qualche anno il Gateway.
C’è un’altra orbita marcata di bianco, anche questa molto vicino alla Luna. Le orbite Halo tra queste due bianche si chiamano NRHO, Near Rectilinear Halo Orbit, e verificano dei parametri tecnici di stabilità orbitale, presenti nell’articolo, ma che non discutiamo qua.
A pagina 7 del primo articolo c’è una tabella con tutte le missioni spaziali svolte nei punti lagrangiani e la loro stabilità in termini di delta V. Tra l’altro questa tabella ha finalmente chiarito il mio dubbio sull’orbita di Wind, che ho espresso pochi post fa, l’orbita viene effettivamente denominata quasi-Halo.
A questo punto, a qualcuno di voi potrebbe essere finalmente più chiaro cos’è un’orbita NRHO.
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Ora che avete raggiunto il livello master della conoscenza delle orbite nei pressi dei punti lagrangiani, vi voglio descrivere l’approccio di uscita e entrata da un’orbita di questo tipo. Prima il metodo classico, quello usato fin’ora, e poi un metodo ancora mai utilizzato in pratica, ma penso che nel giro di tre anni i tempi saranno maturi e vedremo una traiettoria verso un punto lagrangiano abbastanza innovativa.
Prima di tutto, parliamo di uscire dall’orbita una volta che ci si è dentro, detto in modo molto grezzo. In modo più tecnico potremmo dire posizionarsi in un’orbita con periodo di rivoluzione leggermente differente da quello del corpo secondario (la Terra nel sistema Sole-Terra o la Luna del sistema Terra-Luna). Un po’ ne avevo accennato precedentemente, praticamente l’orbita ha dei vincoli abbastanza stretti, anche per quanto riguarda il verso di rotazione, riprendo la figura qui, questa volta disegnata da me quindi con una definizione più bassa:
Il nostro satellite gira nei pressi di L1, seguendo la direzione indicata dalla frecce nere. Se cambia anche di poco la traiettoria, deviando come indicato dalla freccia rossa, si ritrova in un’orbita interna a L1, con una velocità inferiore a quella richiesta per avere periodo di rivoluzione uguale al quello del corpo minore e troppo lontano da quest’ultimo per avere un’attrazione tale da recuperare la velocità (un po’ avevo descritto questa situazione nel post 24).
Cosa succede in questo caso? Niente di preoccupante, il corpo continuerà a orbitare attorno al corpo principale in un’orbita simile a quella del corpo secondario, ma più interna e con periodo minore. Queste manovre di uscita si fanno quando una sonda raggiunge la fine della sua missione, per non rimanere un detrito in L1, zona di interesse aerospaziale, viene allontanata. Lisa Pathfinder, ad esmpio, era in L1 SE (Sun-Earth), ha fatto i test, sono stati un successo, per il decommissionamento è stata allontanata in orbita eliocentrica. Rimane un detrito, sì, ma l’orbita eliocentrica è enorme e spesso non ci si rende conto, quella terrestre, ad esempio è quasi un miliardo di chilometri (il raggio è 150 milioni di km, moltiplicate per 2 \pi …).
Adesso spostiamo sul sistema Terra Luna. Un osservatore sulla Luna orientato verso la Terra, vedrà più o meno il corpo che ha lasciato L1 effettuare un percorso simile:
L’immagine è intenzionalmente disegnata male, nel sistema di riferimento rotante che abbiamo preso (osservatore della Luna), succede veramente un casino, volevo solo che sia chiaro che l’orbita non sarà ellittica vista da qui. Se invece ci prendiamo un punto di vista più distaccato, “dall’alto” (sistema di riferimento inerziale), vedremo sonda e Luna orbitare in orbite simili ma indipendenti, più o meno così:
C’è una cosa bella in meccanica orbitale, se inverti tutte le velocità (di tutti i corpi presi in considerazione), ottieni quello che è successo in passato, è questo il metodo usato (grossolanamente) per capire da dove si origina un corpo sconosciuto, asteroide o detrito che sia.
Bene, tutto questo che vi ho detto serve per illustrare quello che penso potrebbe essere un nuovo metodo per arrivare in prossimità della Luna nei prossimi anni, a partire dal Lunar Gateway. Il motivo per cui la traiettoria che vi illustrerò ora non è ancora stata usata è perché la propulsione elettrica è una novità abbastanza recente (decina d’anni) e perché non c’era ancora un caso d’uso applicabile.
L’idea è semplicemente percorrere a ritroso la traiettoria dell’immagine precedente e quando si arriva nei pressi di L1, effettuare la correzione contraria a quella di uscita. Provo a disegnare tutto lo schema dalla partenza:
- TLI, trans-lunar injection
- assist gravitazionale della Luna
- inserimento in orbita geocentrica tra 300.000 e 400.000 km di quota
- correzione con la propulsione elettrica (per prepararsi all’inserimento in L1)
- manovra di entrata in L1, manovra esattamente opposta a quella di uscita discussa sopra
Cosa c’è di vantaggioso in questo casino?
Finora si è sempre usato il motore chimico per l’inserimento in un’orbita qualsiasi, per le GEO per la circolazione dell’orbita, per andare sulla Luna per la manovra di inserimento, per andare nei punti lagrangiani. La manovra di inserimento nell’orbita finale richiede veramente molta energia. Giusto per citarne qualcuna recente, le due sonde marziane arrivate questa settimana hanno acceso motori da migliaia di newton per decine di minuti per essere catturati in orbita.
La propulsione elettrica è molto più lenta e efficiente. Magari una manovra di pochi minuti di un motore chimico richiede mesi per un motore a ioni, ma se non c’è fretta e il secondo è molto più efficiente, può essere la scelta giusta.
Quello che penso è che è il lancio del PPE+HALO del 2024 seguirà una traiettoria simile a quella articolata sopra. Non sono riuscito a trovare dettagli precisi della massa totale, del tipo di orbita o altri documenti dettagliati, ma vista la destinazione e visto che si vocifera (su qualche sito ufficiale) che arrivare a destinazione potrebbe richiedere qualche centinaio di giorni, la traiettoria descritta è abbastanza compatibile e logica per questo caso d’uso. A prescindere da come verrà spedito PPE+HALO, è comunque un esempio istruittivo.
A mio modo di vedere, il Falcon Heavy effettuerà al massimo il TLI poche ore dopo il lancio, dopo 3-4 giorni ci sarà l’assist della Luna per arrivare in un’orbita geocentrica molto alta, con periodo sui 27-30 giorni. Il PPE entrerà in gioco per correggere l’orbita, con molta calma, in 100-200 giorni e per inserirsi in L2 (il ragionamento di sopra è simile per L1 e L2; saltellare da L1 a L2 è una manovra che richiede pochissima energia). Poi ci vorrà qualche altro mesetto perché il PPE corregga l’orbita in L2 per arrivare a quella ottimale NRHO.
Oltre al lancio iniziale, questo potrebbe essere un modo per avere rifornimenti continui negli anni per materiali non degradabili e per abbattare (leggermente) i costi di trasporto.
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Un documento recente sembra confermare questa ipotesi, le navicelle con equipaggio andranno in modo diretto con i classici 4-5 giorni di tempo, quelle senza equipaggio con una traiettoria lunga con 4 mesi di tragitto.
Figura 3 di pagina 3 di questo documento:
https://www.nasa.gov/sites/default/files/atoms/files/acr22-wp-why_nrho-the-artemis-orbit.pdf
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Le 3 orbite di Euclid, Gaia e Webb in L2:
https://twitter.com/GaiaSky_Dev/status/1676117045555888130
Euclid e Webb sono in orbita Halo, Gaia in orbita Lissajous. La differenza tecnica l’abbiamo descritta al post 35 di questo thread.
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GAIA sarà stufa di vedere tutta 'sta rumenta che gli gira attorno… tutti pixel da scartare! 
Molto interessante, quindi Euclid e JWST sono fortemente inclinati sull’eclittica ma con angoli complementari.
sicuramente tra qualche settimana vedremo le osservazioni di Euclid fatte da Gaia, come fu per JWST. Comunque sono cosi’ deboli che non sono un problema… Il problema e’ piuttosto la competizione sul tempo antenna per scaricare i dati. Con Gaia che continuera’ a funzionare ancora per un paio d’anni e Euclid che manda ancora piu’ dati…
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Però Euclid scarica velocemente i dati, non dà fastidio 